이 문서는 2023년 8월 6일 및 그 이후의 아레나 대회에 유효합니다.

## 아레나 레이팅

레이팅 $R$은 레이팅과 관련 있는 수 $r$에 의해 결정되며, 다음과 같습니다:

$$
  R = \begin{cases} 800 \ln \left( \frac{R - 1600}{800} \right) + 2\,400 & \text{if } r\ge 2\,400 \\ r & \text{if } 400 \le r < 2\,400 \\ \max \left\{ 1, \frac{400}{\exp \left(\frac{400-r}{400}\right)} \right\} & \text{if }  r<400\end{cases}
$$

따라서 음수 레이팅은 존재하지 않으며, 아레나에 한 번 이상 참가했다면 레이팅은 $1$ 이상의 정수가 됩니다.

### 예상 퍼포먼스

아레나 시작 전 참가자의 **예상 퍼포먼스** $E$는 참가자가 이전에 참가한 여러 대회의 퍼포먼스들에 대한 가중평균입니다.

#### 이전에 참가한 아레나 콘테스트가 없을 경우

초기 $E$는 참가자의 **AC 레이팅** $A$를 기반으로 정해집니다.

$$
E = 800 + \left\lfloor \frac{A}{2.4} \right\rfloor
$$

참가자의 AC 레이팅이 없다면 이 값은 $1\,000$입니다.

아레나 콘테스트에 참가한 적이 없을 때에만 이 값을 사용하므로, 첫 번째 콘테스트 이후에는 AC 레이팅은 퍼포먼스 계산에 영향을 미치지 않습니다.

#### 이전에 참가한 아레나 콘테스트가 있을 경우

$E$는 참가자가 이전까지 참가한 모든 아레나에서의 퍼포먼스의 **가중평균**입니다.

참가자가 $N$개의 아레나에 참가했다고 가정합니다. 참가했던 아레나들 중 시작 시각이 늦은 순서로 $i$번째 아레나에서의 후술할 퍼포먼스와 관련 있는 값 $p_i$, 그리고 그 아레나의 시작 시각이 $T_i$였다면, 시작 시각 $C$에 시작되는 대회에 대해 $i$번째 대회의 가중치 $W_i$는 다음과 같이 계산됩니다.

$$
W_i = \min\left\{0.8^i, 0.25^{\left[\left(C-T_i\right)/365\text{일}\right]}\right\}
$$

따라서 최근에 친 대회일수록 예상 퍼포먼스에 반영되는 비율이 높습니다. 이 가중치로 이전 아레나들의 퍼포먼스와 관련 있는 값 $p_i$를 가중평균한 값이 $E$가 됩니다.

$$
E = \frac{\sum_{i=1}^{N} p_i\times W_i}{\sum_{i=1}^{N} W_i}
$$

### 실제 퍼포먼스

아레나 종료 후 참가자의 **실제 퍼포먼스** $P$는 참가자의 순위와 다른 참가자들의 예상 퍼포먼스들로 계산됩니다.

$i$번째 참가자의 예상 퍼포먼스가 $E_i$였고 $k$위에 위치한 참가자가 $t$명 있을 경우, 이들의 **퍼포먼스와 관련 있는 값** $p_i$는 다음 식을 만족하는 $X$의 값으로 계산됩니다.

$$
\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{1+10^{\left(X-E_i\right)/400}} = k-1+0.5t
$$

대회 난이도에 따라 실제 퍼포먼스가 다소 달라집니다. 정확히는, 실제 퍼포먼스는 퍼포먼스와 관련 있는 값과 대회 난이도와 관련된 상수 $B$로 보정된 값으로 결정됩니다.

$$
P_i = \begin{cases} \frac{p_i-B}{2} + B & \text{if } p_i \ge B \\ p_i & \text{if } p_i < B \end{cases}
$$

$B$는 대회의 참가 범위의 최댓값에 따라 아래와 같은 값을 가집니다.

| 참가 범위의 최댓값 | $B$ |
| :---: | ---: |
| X | $\infty$ |
| SSS ~ SSS+ | $3\,400$ |
| SS ~ SS+ | $3\,000$ |
| S ~ S+ | $2\,600$ |
| A ~ A+ | $2\,200$ |
| C ~ B+ | $1\,800$ |

### 레이팅

레이팅 계산은 예상 퍼포먼스 계산과 유사하나, 아레나 콘테스트별 가중치의 계산 시각이 마지막으로 참가한 아레나의 시각 시간 기준으로 이루어집니다. 즉, 예상 퍼포먼스에서의 가중치 공식을 그대로 사용하나, $C=T_1$으로 두고 계산되며, 퍼포먼스와 관련 있는 값이 아닌 실제 퍼포먼스 값을 바탕으로 계산됩니다. 이렇게 새로 계산한 $i$번째 아레나의 가중치를 $W_i^\prime$로 둡니다.

또한 처음 몇 아레나에서의 레이팅을 $0$에서부터 시작하게 하기 위해, 참가한 아레나의 수에 따라 $1\,200$에서 시작하고 점점 $0$으로 수렴하는 함수 $d$를 레이팅으로부터 뺍니다. $d$는 다음과 같이 계산됩니다.

$$
d\left(N\right) = 1\,800 \times \frac{\sqrt{\sum_{i=1}^{N} 0.64^i}}{\sum_{i=1}^{N} 0.8^i} - 600
$$

또 매우 좋은 성과와 적당히 좋은 성과에는 큰 차이를 두되, 적당히 나쁜 성과와 매우 나쁜 성과의 차이를 줄이기 위해 다음과 같은 **퍼포먼스 보정 함수** $c$를 둡니다.

$$
c(P) = 2^{P/800}
$$

종합하면, 레이팅과 관련 있는 수 $r$은 다음과 같이 계산됩니다.

$$
r = c^{-1} \left(\frac{\sum_{i=1}^k c\left(P_i\right) \times W_i^{\prime}}{\sum_{i=1}^k W_i^{\prime}}\right) - d\left(N\right)
$$

## 아레나 티어

아레나 티어는 아레나 레이팅에 따라 결정됩니다. 이 구간은 아레나 시스템 초기에 수 회 변경될 가능성이 있습니다.

| 티어 | 레이팅 |
| :---: | :---: |
| X | 3000 - |
| SSS+ | 2600 - 2999 |
| SSS | 2400 - 2599 |
| SS+ | 2200 - 2399 |
| SS | 2000 - 2199 |
| S+ | 1800 - 1999 |
| S | 1600 - 1799 |
| A+ | 1400 - 1599 |
| A | 1200 - 1399 |
| B+ | 1000 - 1199 |
| B | 800 - 999 |
| C+ | 400 - 799 |
| C | 1 - 399 |

아레나 레이팅 계산 방법